Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

(6)

Если подставить в (5) и (6) массу и радиус Земли, то получим VI= 7.905 км/с и Т= 84.49 минуты. Однако, например, для орбиты станции "Мир" нужно взять r примерно на 400 км больше, чем радиус Земли, и тогда уже VI= 7.688 км/с и Т= 92.57 минуты. Для геостационарного спутника (Т = 24 часа) получится r = 42240.6 км и VI= 3.07 км/с. Для Луны (r = 380000 км) V = 1.024 км/с и Т ~ 27 суток, что близко к реальным средним значениям (орбита Луны не круговая).

2. Движение по эллиптической орбите

Рис. 24 - Параметры эллиптической орбиты

Для описания движения по эллиптической орбите необходим ряд специальных параметров На рис. 24 введены следующие обозначения: S - фокус эллипса, О - его центр, Р - перицентр, А - апоцентр, q = |SP| - расстояние в перицентре, a = |ОА| - большая полуось. Для произвольной точки В в момент времени t угол между ее радиус-вектором SB и направлением на перицентр SP - это истинная аномалия 

Теперь построим окружность радиуса а с центром в центре эллипса О и опустим перпендикуляр BN из точки В на линию апсид АР. Продолжение этого перпендикуляра пересечет окружность в точке B'. Угол при центре эллипса О между прямой OB' и линией апсид ОР называется эксцентрической аномалией Е. Как и истинная аномалия, Е измеряется от 0o до 360o в сторону движения.

Если обозначить через Т время полного оборота (период обращения) точки В по эллиптической орбите, то можно написать: 360o = n*T, или n=, где n - это средняя угловая скорость движущейся точки, которая называется средним движением. Теперь представим себе некую фиктивную точку B'', движущуюся по окружности радиуса а с постоянной угловой скоростью n и проходящую через точку P (перицентр) одновременно с обращающейся по эллиптической орбите точкой В. Угол М, образуемый радиус-вектором OB" этой фиктивной точки и направлением на перицентр ОР, называется средней аномалией и отсчитывается от 0o до 360o в направлении движения точки В. Очевидно, что для произвольного момента времени t среднюю аномалию можно выразить через среднее движение n и время прохождения перицентра: М = n*. E = M = 0o, а при t = (момент прохождения апоцентра) E = M = 180o.

Как уже упоминалось выше, эллиптическое движение осуществляется при условии V02 < 2*. Связь между различными параметрами эллиптической орбиты может быть выражена следующими соотношениями:

1. Между эксцентрической аномалией Е и средней аномалией М (уравнение Кеплера) E - e*sin(E)=M (7) 2. Между радиус-вектором r движущегося тела и эксцентрической аномалией r=a*(1-e*cos(E)) (8) 3. Между скоростью V и радиус-вектором r V2= (9) 4. Между истинной аномалией и эксцентрической аномалией tg() = *tg() (10) 5. Между радиус-вектором и истинной аномалией r = (11)

Как видно из (9), когда движущееся тело приходит в перицентр, его радиус-вектор достигает минимального значения q=a*(1-e), а скорость - максимального, определяемого формулой V2max= . В апоцентре, наоборот, радиус-вектор максимален Q=a*(1+e), а скорость движения минимальна V2min= . Отсюда можно получить, что . Формула для периода обращения по эллиптической орбите аналогична формуле (6) для круговой орбиты, только вместо радиуса орбиты берется ее большая полуось:

T = (12)

Определенный интерес также представляет зависимость параметров орбиты от начальных условий в некоторый момент времени: радиус-вектора r0 , скорости V0 и угла 0, образуемого радиус-вектором и направлением скорости. Зависимости величины фокального параметра и эксцентриситета от начальных условий выглядят так:

Другая информация:

Построение процесса обучения старшеклассников дизайну одежды на принципах гуманизма
Теоретический анализ проблемы реализации дизайнобразования как средства гуманизации обучения старшеклассников технологии, позволивший выявить гуманистические основы и возможности дизайнобразования учащихся современной школы, определить гуманистические принципы отбора и построения содержания дизайно ...

Исторический анализ здоровьесбережения
Современное состояние общества, экологии и экономики неблагоприятно отражается на здоровье человека, вследствие чего растёт число детей, которым необходима специализированная медицинская и психологическая помощь, а также щадящая здоровье организация образовательного процесса. Проблема разработки зд ...

Структура, текущее состояние, принципов взаимодействия субъектов рынка и существующих барьеров на рынке образовательных услуг Пензенской области
Целью проведенного анализа является исследование структуры, текущего состояния, принципов взаимодействия субъектов рынка и существующих барьеров на рынке образовательных услуг Пензенской области, анализ уровня конкуренции и занимаемых позиций на рынке ведущими вузами Пензы. С недавнего времени сист ...