Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

(6)

Если подставить в (5) и (6) массу и радиус Земли, то получим VI= 7.905 км/с и Т= 84.49 минуты. Однако, например, для орбиты станции "Мир" нужно взять r примерно на 400 км больше, чем радиус Земли, и тогда уже VI= 7.688 км/с и Т= 92.57 минуты. Для геостационарного спутника (Т = 24 часа) получится r = 42240.6 км и VI= 3.07 км/с. Для Луны (r = 380000 км) V = 1.024 км/с и Т ~ 27 суток, что близко к реальным средним значениям (орбита Луны не круговая).

2. Движение по эллиптической орбите

Рис. 24 - Параметры эллиптической орбиты

Для описания движения по эллиптической орбите необходим ряд специальных параметров На рис. 24 введены следующие обозначения: S - фокус эллипса, О - его центр, Р - перицентр, А - апоцентр, q = |SP| - расстояние в перицентре, a = |ОА| - большая полуось. Для произвольной точки В в момент времени t угол между ее радиус-вектором SB и направлением на перицентр SP - это истинная аномалия 

Теперь построим окружность радиуса а с центром в центре эллипса О и опустим перпендикуляр BN из точки В на линию апсид АР. Продолжение этого перпендикуляра пересечет окружность в точке B'. Угол при центре эллипса О между прямой OB' и линией апсид ОР называется эксцентрической аномалией Е. Как и истинная аномалия, Е измеряется от 0o до 360o в сторону движения.

Если обозначить через Т время полного оборота (период обращения) точки В по эллиптической орбите, то можно написать: 360o = n*T, или n=, где n - это средняя угловая скорость движущейся точки, которая называется средним движением. Теперь представим себе некую фиктивную точку B'', движущуюся по окружности радиуса а с постоянной угловой скоростью n и проходящую через точку P (перицентр) одновременно с обращающейся по эллиптической орбите точкой В. Угол М, образуемый радиус-вектором OB" этой фиктивной точки и направлением на перицентр ОР, называется средней аномалией и отсчитывается от 0o до 360o в направлении движения точки В. Очевидно, что для произвольного момента времени t среднюю аномалию можно выразить через среднее движение n и время прохождения перицентра: М = n*. E = M = 0o, а при t = (момент прохождения апоцентра) E = M = 180o.

Как уже упоминалось выше, эллиптическое движение осуществляется при условии V02 < 2*. Связь между различными параметрами эллиптической орбиты может быть выражена следующими соотношениями:

1. Между эксцентрической аномалией Е и средней аномалией М (уравнение Кеплера) E - e*sin(E)=M (7) 2. Между радиус-вектором r движущегося тела и эксцентрической аномалией r=a*(1-e*cos(E)) (8) 3. Между скоростью V и радиус-вектором r V2= (9) 4. Между истинной аномалией и эксцентрической аномалией tg() = *tg() (10) 5. Между радиус-вектором и истинной аномалией r = (11)

Как видно из (9), когда движущееся тело приходит в перицентр, его радиус-вектор достигает минимального значения q=a*(1-e), а скорость - максимального, определяемого формулой V2max= . В апоцентре, наоборот, радиус-вектор максимален Q=a*(1+e), а скорость движения минимальна V2min= . Отсюда можно получить, что . Формула для периода обращения по эллиптической орбите аналогична формуле (6) для круговой орбиты, только вместо радиуса орбиты берется ее большая полуось:

T = (12)

Определенный интерес также представляет зависимость параметров орбиты от начальных условий в некоторый момент времени: радиус-вектора r0 , скорости V0 и угла 0, образуемого радиус-вектором и направлением скорости. Зависимости величины фокального параметра и эксцентриситета от начальных условий выглядят так:

Другая информация:

Представление об учебной задаче в начальной и подростковых школах
В настоящее время нет описаний учебной задачи в подростковой школе. Ее структура и содержание только обсуждаются разработчиками. Отметим, что представления об учебной задачи в подростковой школе мы получили из соотнесения следующих источников, анализа материалов экспериментального курса С.Ф. Горбов ...

Православные детские лагеря
Детский православный лагерь является одним из видов детских оздоровительных (профильных) лагерей, который развивает религиозное направление. Не подчиняясь ни органам социальной защиты, ни органам образования, православный лагерь является, по сути, частью (одним из подразделений) епархии, к которой ...

Химия, биология и технология
Установление межпредметных связей курсов химии, биологии и технологии - необходимое условие осуществления естественнонаучного обучения. Эта связь носит двухсторонний характер. Ее фундаментом служит то, что эти естественные науки являются основой познания окружающего мира и целого ряда технологическ ...