Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Доказательство. Убедимся, что в некоторой, специально выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е<1 уравнением (т.e. является эллипсом), а при е>1 -уравнением (т. е. является гиперболой). Пусть R- точка пересечения прямой D и прямой А, проходящей через F перпендикулярно D (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от F к R при е<1 и от R к F при е>1 (на рис. 6.12 показан случай е<1). Так как дальнейшие рассуждения для случая е>1 и е<1 идентичны, мы проведем их подробно для е<1, т. е. для случая, определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками F и R. Вспоминая расположение директрисы эллипса относительно его центра), естественно выбрать начало О координат на прямой А слева от точки R на расстоянии. При заданных е и р величина может быть определена при помощи формулы (1.27). Иными словами, естественно положить

(1.36)

Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О и направлением от F к R осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты (с, 0), где

(1.37)

а директриса D определяется уравнением

(1.38)

Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого геометрического места точек. Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.12). Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F и через d расстояние от точки М до директрисы D. Соотношение ,

(1.39)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на геометрическом месте {М}.

Используя формулу расстояния между двумя точками М и F и формулу для расстояния от точки М до прямой D, получим

(1.40)

(1.41)

Из (1.39), (1.40) и (1.41) вытекает, что соотношение

(1.42)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на геометрическом месте {М}. Поэтому соотношение (1.42) является уравнением геометрического места {М}. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов», а также используя формулы (1.36) и (1.37), это уравнение легко привести к виду

(1.43)

где b2=а2- с2.

Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (1.42) в уравнение (1.43)не появились «лишние корни».

Убедимся в том, что расстояние r от точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.43), до точки F(c,0), может быть вычислено по формуле. Используя соотношение (1.37) и формулу а = . получим для г следующее выражение:

.(1.44)

Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (1.43), расположена слева от прямой D (для таких точек х а), а для точек прямой D:,где e<1, то для расстояния d от М до D справедлива формула (1.41). Отсюда и из формулы (1.44)вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение , т. е. уравнение (1.43) является уравнением геометрического места . Аналогично рассматривается случай е>1.

Используя доказанную теорему и определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Геометрическое место {М} точек М плоскости , для которых отношение е расстояния r до точки F этой плоскости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоскости , есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при 0<е<1), либо параболу (при е=1), либо гиперболу (при е>1). Точка F называется фокусом, прямая D - директрисой, а е - эксцентриситетом геометрического места .

Другая информация:

Роль и место лабораторно-практических работ в дисциплине «Технологический практикум»
Технология определяется как наука о преобразование и использование материи, энергии информации в интересах и по плану человека. Средствами курса «Технология» предполагается, формирование у студентов качеств: творческой, думающей, активно действующей и легко адаптирующейся личности. Они необходимы д ...

Гуманистический подход
Следующий подход, определяющий социокультурные основания образования, связан с его гуманизацией и гуманитаризацией. Поэтому педагогический процесс нуждается в его осмыслении с философско-этических позиций, феноменальность которых основывается на выводе о том, что XX век вошел в историю человечества ...

Структура сети образовательных учреждений Пензенской области
В Пензенской области идут процессы, направленные на оптимизацию сети образовательных учреждений, обеспечивающих доступность качественного образования. За период с 2006 по 2009 год число дневных общеобразовательных школ сократилось с 754 до 630, то есть на 124 учреждения (16%). В 2010 году число общ ...