Доказательство. Убедимся, что в некоторой, специально выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е<1 уравнением (т.e. является эллипсом), а при е>1 -уравнением (т. е. является гиперболой). Пусть R- точка пересечения прямой D и прямой А, проходящей через F перпендикулярно D (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от F к R при е<1 и от R к F при е>1 (на рис. 6.12 показан случай е<1). Так как дальнейшие рассуждения для случая е>1 и е<1 идентичны, мы проведем их подробно для е<1, т. е. для случая, определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками F и R. Вспоминая расположение директрисы эллипса относительно его центра), естественно выбрать начало О координат на прямой А слева от точки R на расстоянии
. При заданных е и р величина
может быть определена при помощи формулы (1.27). Иными словами, естественно положить
(1.36)
Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О и направлением от F к R осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты (с, 0), где
(1.37)
а директриса D определяется уравнением
(1.38)
Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого геометрического места точек. Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.12). Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F и через d расстояние от точки М до директрисы D. Соотношение ,
(1.39)
является необходимым и достаточным условием расположения точки М на геометрическом месте {М}.
Используя формулу расстояния между двумя точками М и F и формулу для расстояния от точки М до прямой D, получим
(1.40)
(1.41)
Из (1.39), (1.40) и (1.41) вытекает, что соотношение
(1.42)
представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на геометрическом месте {М}. Поэтому соотношение (1.42) является уравнением геометрического места {М}. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов», а также используя формулы (1.36) и (1.37), это уравнение легко привести к виду
(1.43)
где b2=а2- с2.
Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (1.42) в уравнение (1.43)не появились «лишние корни».
Убедимся в том, что расстояние r от точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.43), до точки F(c,0), может быть вычислено по формуле. Используя соотношение (1.37) и формулу а =
. получим для г следующее выражение:
.(1.44)
Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (1.43), расположена слева от прямой D (для таких точек х а), а для точек прямой D:
,где e<1, то для расстояния d от М до D справедлива формула (1.41). Отсюда и из формулы (1.44)вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение
, т. е. уравнение (1.43) является уравнением геометрического места
. Аналогично рассматривается случай е>1.
Используя доказанную теорему и определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.
Определение. Геометрическое место {М} точек М плоскости , для которых отношение е расстояния r до точки F этой плоскости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоскости
, есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при 0<е<1), либо параболу (при е=1), либо гиперболу (при е>1). Точка F называется фокусом, прямая D - директрисой, а е - эксцентриситетом геометрического места
.
Другая информация:
Роль ролевых игр в формировании умений
диалогической речи младших школьников
В отличие от диалога или пьесы, которые обучают, как сказать, ролевая игра отвечает на вопрос, почему и зачем сказать. Г.А. Китайгородская Игра – дело серьезное. Ролевая игра как средство организации совместной учебной деятельности учащихся моделирует межличностное групповое общение и находит живой ...
Структура, текущее состояние, принципов взаимодействия субъектов рынка и
существующих барьеров на рынке образовательных услуг Пензенской области
Целью проведенного анализа является исследование структуры, текущего состояния, принципов взаимодействия субъектов рынка и существующих барьеров на рынке образовательных услуг Пензенской области, анализ уровня конкуренции и занимаемых позиций на рынке ведущими вузами Пензы. С недавнего времени сист ...
Анализ существующих методик по формированию и развитию у школьников
общелогических и логических умений
Как было установлено, элементы логики не входят в программный материал курса математики общеобразовательной средней школы. Кроме того, анализ школьных учебников по математике показал, что в большинстве из них доля логических задач по отношению к общему количеству задач учебника является весьма низк ...