Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Доказательство. Убедимся, что в некоторой, специально выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е<1 уравнением (т.e. является эллипсом), а при е>1 -уравнением (т. е. является гиперболой). Пусть R- точка пересечения прямой D и прямой А, проходящей через F перпендикулярно D (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от F к R при е<1 и от R к F при е>1 (на рис. 6.12 показан случай е<1). Так как дальнейшие рассуждения для случая е>1 и е<1 идентичны, мы проведем их подробно для е<1, т. е. для случая, определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками F и R. Вспоминая расположение директрисы эллипса относительно его центра), естественно выбрать начало О координат на прямой А слева от точки R на расстоянии. При заданных е и р величина может быть определена при помощи формулы (1.27). Иными словами, естественно положить

(1.36)

Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О и направлением от F к R осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты (с, 0), где

(1.37)

а директриса D определяется уравнением

(1.38)

Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого геометрического места точек. Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.12). Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F и через d расстояние от точки М до директрисы D. Соотношение ,

(1.39)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на геометрическом месте {М}.

Используя формулу расстояния между двумя точками М и F и формулу для расстояния от точки М до прямой D, получим

(1.40)

(1.41)

Из (1.39), (1.40) и (1.41) вытекает, что соотношение

(1.42)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на геометрическом месте {М}. Поэтому соотношение (1.42) является уравнением геометрического места {М}. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов», а также используя формулы (1.36) и (1.37), это уравнение легко привести к виду

(1.43)

где b2=а2- с2.

Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (1.42) в уравнение (1.43)не появились «лишние корни».

Убедимся в том, что расстояние r от точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.43), до точки F(c,0), может быть вычислено по формуле. Используя соотношение (1.37) и формулу а = . получим для г следующее выражение:

.(1.44)

Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (1.43), расположена слева от прямой D (для таких точек х а), а для точек прямой D:,где e<1, то для расстояния d от М до D справедлива формула (1.41). Отсюда и из формулы (1.44)вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение , т. е. уравнение (1.43) является уравнением геометрического места . Аналогично рассматривается случай е>1.

Используя доказанную теорему и определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Геометрическое место {М} точек М плоскости , для которых отношение е расстояния r до точки F этой плоскости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоскости , есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при 0<е<1), либо параболу (при е=1), либо гиперболу (при е>1). Точка F называется фокусом, прямая D - директрисой, а е - эксцентриситетом геометрического места .

Другая информация:

Судьба церкви на западе и востоке на пороге средних веков
В первые 4—5 веков христианской эры судьбы Восточной и Западной половины Римской империи были и в историческом, и в образовательном отношении почти одинаковы. Еще не сказалось влияние таких факторов, которые должны были обусловить различную судьбу той и другой половины, а, вместе с тем, и различное ...

Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»
Изучение вероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений ...

Упражнение как способ развития лексических навыков
Лексический механизм речи функционирует благодаря взаимодействию операций, осуществляемых с лексическими единицами в процессе ведения беседы, говорения, аудирования, чтения и письма. Эти операции различны в репродуктивных и рецептивных видах речевой деятельности, соответственно различаются между со ...