Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства гиперболы и параболы: лучи света, исходящие из одного фокуса.F1 гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажутся исходящими из другого ее фокуса F2 (рис. 19)

Рис. 19

лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы образуют пучок, параллельный оси параболы (рис. 6 18).

Рис. 20

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используются в инженером деле. В частности, оптическое свойство параболы используется при конструировании прожекторов, антенн и телескопов.

Назовем фронтом волны точечного источника света F линию, для всех точек Q которой путь, проделанный световым лучом, пришедшим из источника F в точку Q. одинаков. Если волна, вышедшая из точечного источника F, не претерпевает отражений, то фронт ее, очевидно, будет представлять собой окружность. Если же указанная волна отражается от некоторой кривой L, то форма ее фронта меняется в зависимости от вида кривой L. Парабола обладает следующим замечательным свойством- фронт Ф отраженной от параболы волны, при условии расположения источника света в фокусе F параболы, представляет собой прямую, параллельную директрисе D этой параболы (рис. 6 18).

В самом деле, рассмотрим прямую Ф, параллельную директрисе D. Пусть Q - произвольная точка этой прямой. Из оптического свойства параболы вытекает, что, если FM падающий луч, приходящий после отражения в точку Q, то отраженный луч MQ перпендикулярен директрисе D. Обозначим через Р точку пересечения луча MQ с директрисой D. Очевидно, сумма |QM| + |MF| равна |QM| + |MP|( по определению параболы). Так как |QM| +|\MP|=d, где d- не зависящее от точки Q расстояние между прямыми Ф и D, то для любой точки Q линии Ф сумма |QM| + |MF| одна и та же (равна d) т. е. Ф-фронт отраженной волны.

12. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения

Эллипс, гипербола и парабола были известны греческим геометрам более 2000 лет назад. Первое, наиболее полное сочинение, посвященное этим кривым, принадлежит Аполлонию и относится к III веку до начала нашего летоисчисления. Аполлоний дал и названия этим кривым в связи с геометрической задачей о превращении данного прямоугольника в равновеликий прямоугольник с заданным основанием.

Древнегреческие математики изучали эти кривые, конечно, не при помощи аналитической геометрии, еще не существовавшей в ту эпоху, а методами той, уже широко в то время разработанной геометрии, которую теперь называют элементарной. Сами эти кривые первоначально греки получили как сечения прямого круглого конуса плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси.

Проведем через центр окружности перпендикуляр к ее плоскости и возьмем на нем точку S. Прямые, соединяющие S с точками окружности, образуют конус. Рассмотрим сначала сечение конуса плоскостью π, пересекающей все его образующие и не перпендикулярной оси симметрии.

Впишем в конус два шара, касающиеся плоскости π в точках F1 и F2 (рис. 21)

Рис. 21

Пусть X – произвольная точка на линии пересечения конуса с плоскостью π. Проведем через X образующую SX и найдем точки Y1, Y2 ее пересечения с вписанными шарами. Тогда XF1=XY1, XF2=XY2 как отрезки касательных к шарам, проведенных из одной точки.

Следовательно, XF1 +XF2 =Y1Y2. Но Y1Y2 – это отрезок образующей, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси конуса, и его длина не зависит от выбора точки X. Значит, линия пересечения конуса с плоскостью π является эллипсом. Отношение его полуосей зависит от наклона секущей плоскости и, очевидно, может принимать любые значения. Следовательно, любой эллипс может быть получен как центральная проекция окружности.

Аналогично доказывается, что если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола (рис. 22).

Рис. 22

Наконец, рассмотрим случай, когда секущая плоскость параллельна одной образующей. Впишем в конус сферу, касающуюся этой плоскости π в точке F. Эта сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости σ (рис. 23).

Другая информация:

Основные направления деятельности классного руководителя
Для успешной работы классный руководитель должен уметь выявить воспитательный результат, оценить его и с учетом оценки результата корректировать профессиональную деятельность. Выявлять и оценивать результат надо через определенные промежутки времени: в начальной и средней школе – в конце каждой чет ...

Мышление как психический процесс
Мышление имеет целенаправленный характер. Необходимость в мышлении возникает, прежде всего, тогда, когда в ходе жизни и практики перед человеком появляется новая цель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышление ребенка зарождается и развивается сначала в процессе наблюден ...

Трудовая деятельность как фактор воспитания личности умственно отсталого дошкольника
С.Я. Рубинштейн считает, что трудовое воспитание следует рассматривать как важнейший фактор формирования личности. Это положение относится ко всем детям и подросткам. По отношению к детям с неполноценной либо ослабленной нервной системой труд представляет собой также и весьма значительное корригиру ...