Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

p= (13) e= (14)

Из (13) следует, что при возрастании угла 0 от 0o до 90o параметр p также растет от 0 до pmax = , а когда 0 изменяется от 90o до 180o, p убывает от pmax до 0. При 0 = 0o и 0 = 180o параметр p = 0 и орбита вырождается в отрезок прямой.

Выражение e через начальные параметры из (14) зависит от знака разности r0*V02 - 2G*M, который определяет тип орбиты. При r0*V02 - 2G*M < 0 орбита всегда остается эллипсом, и при изменении угла 0 от 0o до 90o e уменьшается от 1 до emin = , а при увеличении 0 от 90o до 180o e снова увеличивается от emin до 1. Поскольку q = , то при увеличении от 0o до 180o расстояние в перицентре q растет от 0 до r0.

Величину большой полуоси a и малой полуоси b также можно выразить через начальные параметры: a = (15) b =

(16)

В предельном случае (при sin(0)=0) эллипс вырождается в конечный отрезок прямой, длина которого равна 2*a и концы которого одновременно являются и фокусами, и вершинами вырожденного эллипса, причем один из его концов - перицентр - совпадает с началом координат, т.е. с притягивающим центром.

3. Движение по параболической орбите

Параболу можно рассматривать и как предельный случай эллипса, и как предельный случай гиперболы. Для параболической орбиты выполняется условие V02 = (17). Скорость V0 называется параболической, или второй космической скоростью VII. Сравнивая эту формулу с выражением (5) для первой космической скорости, можно заметить, что VII = VI* . При данном расстоянии r0 до притягивающего центра вторая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для преодоления притяжения центрального тела. Для Земли (r0=6378.1 км) VII= 11.179 км/c. Для того, чтобы тело навсегда покинуло Солнечную систему, на расстоянии Земли (r0=149.6 млн. км) ему нужно придать скорость VIII= 42.1 км/с. Скорость VIII иногда называют третьей космической скоростью.

Уравнение параболической орбиты можно представить как зависимость радиус-вектра от фокального параметра p (или расстояния в перицентре q=) и истинной аномалии: r = (18)

Уравнение движения по параболе - зависимость истинной аномалии от времени t (и времени прохождения перицентра) выглядит так:

(19)

В параболическом движении истинная аномалия меняется от -90o до +90o. При (прохождение перицентра) и радиус-вектор достигает минимального значения rmin = q = 2*p, а скорость - максимального

V2max= .

При возрастании r до бесконечности скорость падает до нуля.

Зависимость фокального параметра p от начальных радиус-вектора r0 и угла между направлением радиус-вектора и направлением начальной скорости выражается следующим образом:

p = 2r0*sin2 (20)

В предельном случае, при парабола вырождается в полупрямую, выходящую из начала координат, которое является одновременно и вершиной, и фокусом вырожденной параболы.

Теперь в качестве примера применения теории эллиптического и параболического движения можно привести следующую задачу: сколько времени понадобится ракете, стартующей с земной орбиты с минимально необходимой начальной скоростью, чтобы удалиться от Солнца на 2 пк? Если представить орбиту параболической, то минимальная начальная скорость будет примерно равна VIII= 42.1 км/с, и, казалось бы, для решения задачи нужно просто разделить 2 пк на VIII, что составит примерно 46.5 тыс. лет. Однако нетрудно заметить, что это значение справедливо только при условии постоянного (в течении 46 тыс. лет!) поддержания скорости ракеты на уровне 42.1 км/c, т.е. работа двигателей должна постоянно компенсировать потерю кинетической энергии, связанную с преодолением притяжения Солнца. Если же ракета разгоняется вблизи орбиты Земли и дальше движется по инерции, то ее скорость будет постоянно уменьшаться, и поэтому время, затраченное на преодоление 2 пк, будет существенно больше. В этом случае проще будет взять эллиптическую орбиту с a=1 пк (если пренебречь перигелийным расстоянием, то в афелии удаление от Солнца составит как раз 2 пк), тогда из (12) получим полный период обращения по такой орбите. Он составит 93.7 млн. лет, то есть искомое время (половина периода) будет около 46.8 млн. лет! Отсюда ясно, с какими трудностями сопряжена при современном развитии космической техники посылка аппарата даже к ближайшей звезде.

Другая информация:

Диагностика уровня сформированности навыков самообслуживания у детей дошкольного возраста с умственной отсталостью
\ Цель данного этапа – выявление исходного уровня сформированности навыков самообслуживания у дошкольников с умственной отсталостью. В эксперименте принимали участие 10 детей подготовительной группы ДОУ «Детский сад комбинированного вида №53» г. Читы. Для исследования уровня сформированности навыко ...

Психологические особенности восприятия в старшем школьном возрасте
“Восприятие – отражение предметов и явлений, целостных ситуаций объективного мира в совокупности их свойств и частей при непосредственном воздействии их на органы чувств”. Иногда наши органы чувств подводят нас, как бы обманывают. Это называется иллюзией. Зрение поддается иллюзиям больше, чем други ...

Организация культурного досуга молодёжи и подростков. Развитие творческих способностей на примере клубной деятельности в УДО
Культурно-досуговая деятельность представляет особый вид педагогической активности, имеющий двойственный характер. С одной стороны, чтобы интересно, содержательно и с пользой для себя организовать отдых и развлечение, снять утомление и усталость, включиться в различные виды деятельности, требуется ...