Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Но F1Y + F2Y равно длине веревки, т. е. большой оси эллипса. Рассуждая аналогично в случае, если точка X лежит вне эллипса, получаем F2Y <XY +XF2. Следовательно, F1X+XF2 =F1Y+YX+XF2 >F1Y+F2Y.

Рис. 26

Упражнение 2. Найдите геометрическое место середин хорд эллипса, параллельных данному направлению.

Решение. Рассмотрим эллипс как параллельную проекцию окружности. Тогда параллельным хордам эллипса и их серединам соответствуют параллельные хорды окружности и их середины, лежащие на диаметре окружности. Следовательно, геометрическим местом середин параллельных хорд эллипса также будет некоторый его диаметр (хорда, проходящая через центр).

Упражнение 3. С помощью циркуля и линейки найдите фокусы данного эллипса.

Решение. Построим две параллельные хорды эллипса. По предыдущему упражнению прямая, соединяющая их середины, является диаметром эллипса. Построив таким образом два диаметра, мы найдем центр эллипса О. В силу симметрии эллипса окружность с центром О пересекает эллипс в четырех точках, образующих прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса. Теперь фокусы эллипса можно найти как точки пересечения большой оси и окружности с центром в конце малой оси и радиусом, равным большой полуоси.

Задачи:

Дано уравнение а) 3х2 + у2 = 7. Изобразить эллипс двумя способами.

I способ:

Запишем его в виде . Устанавливаем, что , строим осевой прямоугольник со сторонами 2R, l и изображаем сам эллипс (рис. 17). Отметим, что в правой части уравнения должно быть положительное число, а в левой – сумма квадрата абсциссы, взятого с положительным коэффициентом, и квадрата ординаты.

Рис. 27

II способ

Приведём уравнение к каноническому виду.

Разделим обе его части на 7.

Получим, что

Строим осевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаем эллипс.

Отметим, что, например, уравнение 3х2 + 5у2 = 7 следует сначала преобразовать к виду х2 + у2 = или а затем находить R, k и a, b соответственно.

Если центр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельны координатным осям, то он задаётся уравнением (4), где С (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельного переноса, или каноническим уравнением

(5) – С (х; у) – центр эллипса.

Данного материала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задан уравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.

б) Построить график

I способ

Преобразуем к виду (4):

Это уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k = (рис. 28)

Рис. 28

II способ

Преобразуем к виду (5): . Получили уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.

Строим сам эллипс.

Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов:

а)

Приводим уравнение к каноническому виду , а = 3, b = 2.

Фокусы F1 и F2 имеют координаты F1(с; 0) и F2(– с; 0).

Итак, F1(; 0) и F2(; 0) а = 3, b = 2.

б)

Другая информация:

Характеристика традиционного и обучающегося общества
Обучающееся и традиционное общество – это две противоположности, два противопоставления. Обучающееся общество, которое приходит на смену традиционному, живет и развивается в соответствии с концепцией «образование через всю жизнь» или «учение длинною в жизнь», то есть процесс образования человека не ...

Цели посещения уроков администрацией школы
1. Цели обучения, связанные с обеспечением усвоения учащимися знаний, умений, навыков, способов различных видов деятельности, особенно - учебно-познавательной. Например, усвоение учащимися законов, свойств, признаков, понятий, особенностей и т.д. 2. Цели воспитания, связанные с процессом формирован ...

Понятие «педагогический конфликт» и его особенности
Педагогическое общение представляет собой коллективную систему социально-психологического взаимодействия. Причем линии общения находятся в постоянном взаимодействии, пересекаются и взаимопроникают друг в друга. Взаимодействие педагога с учащимися происходит в различных ситуациях. Чаще всего эти сит ...