Из последних формул вытекает, что , эти равенства означают подобие рассматриваемых парабол относительно точки О.
5°. Отметим, что кривая у2=2рх при р<0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.
9. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы
Определение параболы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.
Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.
1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с - половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а - большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).
Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная
e=(1.24)
Учитывая связь величины с с длинами а и b большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (1.5) и (1.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е:
для эллипса(1.25)
для гиперболы (1.25')
Из формул (1.25) и (1.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы
Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности b= а).
Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (1.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (1.25') для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение малой и большой полуосей (гиперболы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение - мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы)" подобны
Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет
Рис. 13
е (см. формулу (1.25)), тем меньше отношение - малой полуоси эллипса b
к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.
Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение равно
тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.
Директрисы эллипса и гиперболы.
Рис. 14
1°. Директрисы эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности, эллипс имеет большую и малую оси и центр - точку пересечения этих осей. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.10).
Пусть е - эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то еО) и - плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i (i=1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1, 2).
Определение. Директрисой Di (i=1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.
Другая информация:
Констатирующий эксперимент по выявлению знаний в области экономики у
обучающихся профильного и базового уровней
В констатирующем эксперименте принимали участие 2 группы двух школ г.Североморска: контрольная и экспериментальная. В роли контрольной группы выступил 11Б профильный класс общеобразовательной школы №1, 20 человек. В обеих группах велось преподавание одним педагогом. В роли экспериментальной группы ...
Социальное воспитание старших подростков в учреждении дополнительного
образования
Социальное воспитание осуществляется обществом и государством в учреждениях как спецально создаваемых для этой цели, так и занимающихся им наряду со своими основными функциями. В современной педагогике существуют разные подходы к определению сущности социального воспитания. В работе нами принят под ...
Лекция
Итак, лекция (от лат. lectio – чтение) – систематическое, последовательное, монологическое изложение преподавателем (лектором) учебного материала, как правило, теоретического характера; главное звено дидактического цикла обучения. Является традиционной формой для высшей школы, где на её основе форм ...