r1= - а - , при х<0
- а+, при x>0
r2=
а - , при х<0 (1.11)
Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r1-r2| =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.
Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
6. Свойства гиперболы
1°.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.
Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы.
Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.
Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (1.9) величины х и у фигурируют в четных степенях.
Рис. 9
Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х,-у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х,-у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6).
Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (1.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы - начало координат.
Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А(-а, 0) и В (а, 0) - вершинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет общих точек с гиперболой. Так как ординаты точек оси Ох равны нулю, то для выяснения величины абсцисс точек пересечения этой оси с гиперболой нужно в уравнении (1.9) положить у=0. После этого мы получим уравнение , из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х=-a и х=a. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т. е. является ее действительной осью) в точках А(-а, 0) и В (а, 0) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (1.9) уравнение , которое не имеет действительных решений. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы.
Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2°. Рассмотрим область G, которая получена объединением прямоугольника D, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам |х|<а,|у|<b, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области G нет точек гиперболы.
Разобьем область G на две части G1 и G2, где G1 представляет собой полосу, абсциссы x точек которой удовлетворяют неравенству |х|<a, a G2 - остальная часть области G (Область G1 представляет собой, очевидно, полосу, заключенную между безгранично продолженными вертикальными сторонами прямоугольника D. Область G2 состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов.)
Очевидно, в полосе G1 нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству |х| а (Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что ). Обратимся теперь к точкам области G2. Заметим, что каждая точка G2 либо лежит на диагонали прямоугольника D, либо за его диагональю. Поскольку диагонали D определяются уравнениями и то координаты х и у точек G2 в силу их расположения удовлетворяют неравенству (Абсциссы х точек G2 не равны нулю). Из этого неравенства вытекает неравенство из которого в свою очередь следуют неравенства . а так как для точек гиперболы , то в области G2 нет точек гиперболы.
Другая информация:
Понятие о педагогической технологии
Нет сомнения, что каждый в меру образованный человек сегодня постоянно сталкивается с понятием «технология», которое нередко употребляется в бытовом значении, а с другой стороны заключает в себе общий смысловой элемент: обозначает процесс материального воздействия на материальное тело с целью получ ...
Особенности развития пространственного мышления в младшем школьном возрасте
Пространственные понятие и пространственное воображение ребенка являются предпосылками для формирования его пространственного мышления и обеспечиваются различными психическими процессами, такими как восприятие (первоосновой которого являются ощущения), внимание, память, воображение при обязательном ...
Развитие информационных технологий обучения
Уровень подготовки выпускников школ, вступающих в активную жизнь, недостаточно соответствует требованиям стремительно развивающейся науки, техники, экономики. Традиционное преподавание в школе подвергается справедливой критике за формализм, ориентацию на простое запоминание учебного материала и фор ...