Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

r1= - а - , при х<0

- а+, при x>0

r2=

а - , при х<0 (1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r1-r2| =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

6. Свойства гиперболы

1°.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.

Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы.

Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.

Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (1.9) величины х и у фигурируют в четных степенях.

Рис. 9

Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х,-у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х,-у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6).

Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (1.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы - начало координат.

Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А(-а, 0) и В (а, 0) - вершинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет общих точек с гиперболой. Так как ординаты точек оси Ох равны нулю, то для выяснения величины абсцисс точек пересечения этой оси с гиперболой нужно в уравнении (1.9) положить у=0. После этого мы получим уравнение , из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х=-a и х=a. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т. е. является ее действительной осью) в точках А(-а, 0) и В (а, 0) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (1.9) уравнение , которое не имеет действительных решений. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы.

Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2°. Рассмотрим область G, которая получена объединением прямоугольника D, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам |х|<а,|у|<b, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области G нет точек гиперболы.

Разобьем область G на две части G1 и G2, где G1 представляет собой полосу, абсциссы x точек которой удовлетворяют неравенству |х|<a, a G2 - остальная часть области G (Область G1 представляет собой, очевидно, полосу, заключенную между безгранично продолженными вертикальными сторонами прямоугольника D. Область G2 состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов.)

Очевидно, в полосе G1 нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству |х| а (Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что ). Обратимся теперь к точкам области G2. Заметим, что каждая точка G2 либо лежит на диагонали прямоугольника D, либо за его диагональю. Поскольку диагонали D определяются уравнениями и то координаты х и у точек G2 в силу их расположения удовлетворяют неравенству (Абсциссы х точек G2 не равны нулю). Из этого неравенства вытекает неравенство из которого в свою очередь следуют неравенства . а так как для точек гиперболы , то в области G2 нет точек гиперболы.

Другая информация:

Новый взгляд христианства на человеческую личность
Прежде всего, Христианство принесло с собой новый взгляд на человеческую личность. В античном мире человек расценивался, если не исключительно, то преимущественно, — особенно в те первые времена, — с точки зрения полезности его для государства, для общества. Человек здесь имел свою цену, прежде все ...

Изучение особенностей коррекционной работы по развитию связной устной речи учащихся младшего школьного возраста специальной школы VIII вида
Связная речь – наиболее сложная форма речевой деятельности. Она характеризуется особыми присущими только ей признаками. Связная речь носит характер систематического последовательного изложения. Связное сообщение представляет собой развернутое высказывание. Таким образом, под связной речью понимаетс ...

Григорий Богослов. Взгляд его на образование
Григорий Богослов (330—390 г.) род. в Назианзе, в Капподокии; образование получил в Александрии и Афинах. В Афинах он близко подружился с Василием Великим. Впоследствии был Константинопольским епископом, но скоро, по проискам Ариан, оставил Константинополь. Известен философским обоснованием догмата ...