Материалы » Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы » Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Страница 3

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6 (если фокусы F1 и F2 совпадают, то О совпадает с F1 и F2, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).

Рис. 6

Пусть длина отрезка F1 F2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1 и F2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а>2с, т. е. a>с (Если М - точка эллипса (см. рис. 6.2), то |MF1| + |MF2| = 2a, а так как сумма двух сторон MF1 и MF2 треугольника MF1F2 больше третьей стороны F1F2=2c, то 2а>2с.) Случай 2а=2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F1F2 и эллипс вырождается в отрезок.). Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.2). Обозначим через r1 и r2 расстояния от точки М до точек F1 и F2 соответственно. Согласно определению эллипса равенство

r1+r2=2а(1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками получим

(1.2)

Из (6.1) и (6.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4)

Где b2=a2-c2(1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r1 и r2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у2 из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для r1 после несложных преобразований найдем, что

. Так как а + > 0,то r1 = а +.

Совершенно аналогично найдем, что r2= а -.

Таким образом, для рассматриваемой точки М

r1= а+, r2= а - (1.6)

т. е. r1+r2=2a, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>b). Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R=a=b, а центр совпадает с началом координат.

4. Свойства эллипса

1°. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Действительно, в уравнении (1.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4) (т.е. точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х, -у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 7).

Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (1.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса - начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, D на рис. 7 - вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8

Другая информация:

Методы и формы работы социального педагога в УДО с подростками, склонными к девиантному поведению
Коррекция девиантного поведения является социально-педагогическим комплексом взаимосвязанных, взаимообусловленных операций и процедур, направленных на регуляцию мотиваций, ценностных ориентаций, установок и поведения личности, а через неё – на систему различных внутренних побуждений, регулирующих и ...

Научно-исследовательская работа в высшей школе
В вузах Российской Федерации научные исследования направлены на разработку фундаментальных проблем в той области, для которой данный вуз готовит специалистов. Важное место занимают также исследования по проблемам высшей школы, совершенствованию учебного процесса, повышению качества подготовки выпус ...

Гуманистические основы дизайнобразования учащихся современной школы
Основной тенденцией современного технологического образования является интеграция гуманитарных, естественнонаучных и технических дисциплин с производством. Одним из связующих факторов этой интеграции является дизайн. Анализ технической, технологической, искусствоведческой литературы свидетельствует ...

Разделы

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.grandeducator.ru