Материалы » Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы » Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Страница 3

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6 (если фокусы F1 и F2 совпадают, то О совпадает с F1 и F2, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).

Рис. 6

Пусть длина отрезка F1 F2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1 и F2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а>2с, т. е. a>с (Если М - точка эллипса (см. рис. 6.2), то |MF1| + |MF2| = 2a, а так как сумма двух сторон MF1 и MF2 треугольника MF1F2 больше третьей стороны F1F2=2c, то 2а>2с.) Случай 2а=2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F1F2 и эллипс вырождается в отрезок.). Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.2). Обозначим через r1 и r2 расстояния от точки М до точек F1 и F2 соответственно. Согласно определению эллипса равенство

r1+r2=2а(1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками получим

(1.2)

Из (6.1) и (6.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4)

Где b2=a2-c2(1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r1 и r2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у2 из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для r1 после несложных преобразований найдем, что

. Так как а + > 0,то r1 = а +.

Совершенно аналогично найдем, что r2= а -.

Таким образом, для рассматриваемой точки М

r1= а+, r2= а - (1.6)

т. е. r1+r2=2a, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>b). Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R=a=b, а центр совпадает с началом координат.

4. Свойства эллипса

1°. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Действительно, в уравнении (1.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4) (т.е. точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х, -у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 7).

Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (1.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса - начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, D на рис. 7 - вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8

Другая информация:

Технолого-педагогические подходы к организационной деятельности студентов при выполнении лабораторно-практических работ
Поскольку экономика и практическая деятельность человека неразделимы, основная нагрузка по формированию экономических знаний возлагается на образовательную область «Технология». Технология является единственным предметом, на уроках которого студенты создают изделия своими руками. Тесная связь уроко ...

Опыт работы учителей музыки Ярославской области
Вопросы экологического воспитания волнуют педагогов и воспитателей Ярославской области. Свои разработки уроков и идеи они соединили в методические сборники "Экологическое воспитание средствами искусства" и "Экологическое воспитание средствами музыки", авторы-составители Б.А.Бара ...

Практическое исследование социально – педагогической деятельности с подростками, склонными к девиантному поведению
Исследование проводилось на базе Муниципального Учреждения Дополнительного Образования детей – Детском Доме Творчества (МУДОд – ДДТ) г. Аркадака Саратовской области, среди подростков, занимающихся в детском доме творчества. Всего в количестве 3 человек. Возраст детей 14–15 лет. Критериями отбора по ...

Разделы

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.grandeducator.ru