Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"

График является средством, позволяющим показать сразу всю зависимость, причем графический способ первоначально возникает как другое средство описания зависимости и в последствии становится самостоятельным способом существования зависимости. Таким образом, описание зависимостей также рассматривается с позиций двух языков – алгебраического и геометрического.

Однозначные и неоднозначные зависимости

Далее показывается, что для некоторых зависимостей возможны достаточно явные переходы от одного описания к другому, а для других – нет.

Выделяется класс зависимостей, для которых такие переходы возможны, а именно, зависимости определяемые формулами "у=выражение". Поскольку зависимая переменная y вводится в явном виде как "заместитель" переменной, представляющей собой собственно выражение, любая формула задает однозначную зависимость. Действительно, выражение в правой части представляет собой последовательность действий (программу), при заданных значениях переменных приводящую к однозначному результату – конкретному значению y. Однозначные зависимости и называют функциями.

Область определения функции

Далее авторы вводят в рассмотрение область определения функции как некоторые "смысловые ограничения" на независимую переменную. Введение области определения позволяет завершить построение определения функции.

Введение функциональной символики

Вводится новый объект - кусочные функции, что позволяет рассмотреть общий способ описания зависимости и приводит к введению функциональной символики. Заметим, что общая функциональная символика используется далее для введения общего способа преобразования графиков функций f(x) + l, f(x + m).

Итак, мы выделили следующую логику введения понятия функции. Изначально рассматривается аналитический способ задания зависимостей между переменными величинами. Переход к графическому способу позволяет выделить два класса зависимостей: однозначные и неоднозначные. Однозначные зависимости называются функциями. Для полного описания функции вводится область определения. Таким образом, логика введения понятия функции в данном курсе подобна реконструированной нами логике исторического развития этого понятия.

Заметим, что, в отличие от программы А.Г. Мордковича, в данном курсе не рассматриваются задачи на возрастание и убывание функций, по-видимому, это связано с тем, что программа РО находится в стадии разработки. Однако в курсе С.Ф. Горбова также прослеживается тесная связь линейного уравнения и линейной функции как в графической так и в аналитической формах.

Применим схему, изображенную на рис 1.1 для анализа связи понятий линейной функции с линейным уравнением в курсе Горбова С. Ф.

Линейное уравнение - это равенство, в которое неизвестные входят в первой степени, нет их произведения, и хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Линейная функция – зависимость между переменными, которая выражается формулой вида у=kx+m. Заметим, что ограничений на коэффициенты не вводятся. Содержательно понятия линейной функции и линейного уравнения отличаются, хотя по форме записи могут совпадать. Так, линейное уравнение вводится как "способ для описания геометрической фигуры на плоскости на языке алгебры", тогда как линейная функция – это способ записи линейной зависимости . Заметим, что в курсе нами не были обнаружены задания, посредством которых явно осуществлялся бы переход от линейного уравнения (канонического вида ax+by+c=0) к виду линейной функции. заданных аналитически. Этот переход осуществляется посредствам обращения к графику линейной функции и линейного уравнения, т.е. прямой на координатной плоскости, с помощью специально организованной ситуации затруднения. Таким образом, можно говорить, что связь ЛФ↔ЛУ присутствует, но она не явная, поэтому на схеме этот переход обозначим символом "← – →".

В задачнике есть задачи, в которых необходимо описать прямую на алгебраическом языке и наоборот. В курсе С.Ф. Горбова прямая интерпретируется как ГМТ на координатной плоскости, поэтому линейным уравнением можно описать любую прямую на координатной плоскости. Итак, связь ГЛУ ↔ЛУ восстанавливается полностью.

Другая информация:

Сюжетно-ролевые игры
Сюжетно-ролевая игра – это воспроизведение событий, происходящих в жизни или в литературном произведении. Главное условие игры – наличие у детей знаний о той или другой стороне действительности, о деятельности людей в ней, их конкретно-ситуативном поведении. В последние годы проблема классификации ...

Особенности воспитания двигательных качеств
У детей преобладает развитие мускулатуры туловища по сравнению с мускулатурой конечностей. Лишь к 16-17 годам топография мышечной силы устанавливается по взрослому типу. Начиная с младшего школьного возраста, нарастает сила мышц конечностей, особенно кистей. Развитие силы происходит неравномерно. В ...

Экспериментальное исследование грамматического строя речи у дошкольников с общим недоразвитием речи III уровня
Логопедическое обследование направлено на выявление у детей сформированности грамматического строя речи. В возрасте, когда процесс развития речи далеко не завершен, специалисту необходимо разграничивать, что уже должно быть сформировано в детской речи, что только начинает складываться, и каких лекс ...