Понятие функции в школьной программе по математике

Использование системы учебных задач в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова при организации учебной деятельности уже показала свою эффективность. В подростковой школе только начинается обсуждение возможности использования деятельностного подхода в обучении. На данный момент разработаны только фрагменты учебно-методических комплектов, поэтому возникает идея использования имеющихся разработок, как инновационных элементов, в утвержденных Министерством образования и науки РФ программах.

Как отмечают разработчики современных программ по математике для общеобразовательных школ, базовым понятием курса алгебры 7-11 классов является понятие функции. Известно, что одно и тоже математическое понятие может быть введено исходя из разных методологических и методических оснований. Особо это относится к понятию "Функция". Нами выделено два подхода, в которых понятие разворачивается в определенной логике: первый представлен в экспериментальной программе С.Ф. Горбова, второй – в программе А.Г. Мордковича.

В подходе, предлагаемом авторами РО, понятие функции вводится исходя из исторического развития понятия функции, где она сформировалось как однозначная зависимость между переменными величинами. В этом подходе логика введения понятия от общего к частному. В программе С.Ф. Горбова нами были выделена система учебных задач на введение понятия функции. В программе А.Г. Мордковича, которая широко используется в настоящее время в школах, понятие функции вводится как модель практической ситуации. Под моделью практической ситуации понимается составление и решение уравнения. Этот подход построен на рассмотрении частных случаев функций, и их формальном обобщении.

Сравнивания подходы к введению понятия функции в программах А.Г. Мордковича и С.Ф. Горбова нами были обнаружены схожие места во введении отдельных аспектов понятия функции. Так возникла идея о возможности использования деятельностных элементов в программе А.Г. Мордковича, пользующаяся наибольшей популярностью среди учителей.

Цели работы:

Изучить подходы к введению понятия функция

Для достижения цели решались следующие задачи:

Провести историческую реконструкцию понятия функции;

Провести анализ программы А.Г. Мордковича и экспериментальных учебных материалов С.Ф. Горбова с целью реконструкции подходов к формированию понятия функции

Разработка методического обеспечения по теме "Линейная функция", позволяющего внести деятельностные элементы в изучение понятия функции.

Для достижения цели решались следующие задачи:

Выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса "Алгебра 7" С.Ф. Горбова, проводились беседы с автором

Изучить возможность деятельностного введения понятия линейная функция в программе А.Г. Мордковича;

Разработать методику введения понятия линейной функции;

Разработать формы описания учебных и методических материалов;

Разработать диагностические задания, позволяющие оценить эффективность используемой методики.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Первая глава посвящена изучению подходов к формированию понятия функции в двух инновационных программах по математике. Более точно, рассматриваются программа А.Г. Мордковича и экспериментальный курс С.Ф. Горбова.

Историческая реконструкция понятия функции, проведенная в §1, позволила выделить этапы его развития: 1) этап становления понятия функции как зависимости рядов величин, а затем переменных; 2) разделение однозначных и неоднозначных зависимостей; 3) введение области определения

Итак, к концу XIX века функция представляется как однозначная зависимость между переменными, с указанием области существования независимой переменной, причем зависимость может быть задана графически, аналитически, словесно или каким-либо другим способом. В школьной математике понятие функции основано на методической обработке основных интерпретаций понятия функции до середины XIX века.

Второй параграф посвящен анализу программы А.Г. Мордковича, в которой функция представлена учащимся как специальный вид линейного уравнения, который удобно использовать для описания математических моделей практических ситуаций. В ходе восстановления логики программы мы выделили два объекта для введения понятия линейной функции: линейное уравнение с двумя неизвестными и его график. Логика изложения представлена четырьмя блоками: раскрытие связи линейного уравнения и его графика; оформление связи линейной функции с ее геометрической моделью; введение области определения функции, рассмотрение нового способа построения прямой. Последние два блока не имеют логических связок с предыдущими.

В пункте 2.2. §2 мы обосновываем, что автор существенно редуцирует как понятие функции, так и отношения между линейной функцией, линейным уравнением и их графиками. При этом подобная редукция отрицательно сказывается на качестве формирования понятия линейной функции у школьников, а именно:

Учащиеся не опознают линейное уравнение и линейную функцию в неканонической форме задания;

У учащихся нет средств для ответа на вопрос, графиком какой линейной функции является данная прямая на координатной плоскости;

Равенство у=с не является для учащихся функцией.

Третий параграф главы 1 посвящен введению понятия функция в экспериментальном курсе С.Ф. Горбова, В.М Заславского и др. Понятие функции в данном курсе представлено отдельной содержатель-методической линией и вводится в соответствии с его историческим развитием. Это позволяет авторам работать с отношением между алгебраическим и геометрическим языками. В формировании функции по С.Ф. Горбову можно выделить 5 этапов: введение понятия зависимости, график как средство моделирования зависимости, однозначные и неоднозначные зависимости, область определения функции, введение функциональной символики.

В данном курсе авторы работают с понятием зависимости рассматривая и неоднозначные зависимости. В силу этого линейная функция представлена лишь как частный случай однозначной зависимости.

Во второй главе рассматриваются методические аспекты введения понятия функция через систему учебных задач. Основная задача этой главы - выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса "Алгебра 7" С.Ф. Горбова, проводились беседы с автором.

В первом параграфе приводится сравнение учебных задач в начальной и подростковой школах. Учебная задача является центральным понятием в РО. С.Ф. Горбов называет ее "плодотворной метафорой", поскольку она дает возможность изучать учебную деятельность с разных сторон. Так психологи через призму учебной задачи рассматривают формирование психологических процессов. Методисты изучают ее как способ организовать методику введения материала. Для учителя учебная задача – форма для организации ситуации урока. Суть учебной задачи заключается в разрыве между необходимостью и возможностью выполнить действие, при этом имеющийся у учащихся способ этого не позволяет. Необходимость выполнения предметного действия обусловлена рамками задания. Возможность преодолеть затруднение заключается в том, что имеющийся способ применяется не на прямую, а посредствам его преобразования в новой ситуаций. Учебная задача позволяет контролировать формирование понятие у учащихся. Учебная задача в подростковой школе направлена на преобразование имеющегося способа к новой ситуации, а не на поиск общего способа решения, как было в начальной школе. Учащиеся выполняют действия с моделями в рамках знаковых систем, а не моделируют отношение между объектами. По этим причинам мы предполагаем, что для описания структуры учебной задачи в подростковой школе можно использовать описание, предложенное Г. А. Цукерман [31].

Второй параграф посвящен анализу учебных задач на формирование понятия функции, предлагаемых в курсе С.Ф. Горбова. В подростковой школе, в отличие от младшей, не удается выделить всеобщего способа, который позволил бы организовать формирование понятия функции. Первоначально мы предполагали, что в курсе С.Ф. Горбова удастся выделить систему учебных задач, но нам удалось обнаружить только цепочку учебных задач, каждая из которых основана на конструировании ситуации затруднения. Ситуации затруднения, в свою очередь, организуются по следующему принципу: открытие способа посредствам адаптации имеющегося способа (возможно из другой содержательной линии) в новых условиях. На месте способа может находиться знание. Нами было выделено четыре ситуации затруднения в курсе С.Ф. Горбова "Алгебра 7", которые связаны с: различением двух видов неизвестных, выходом на графический способ представления зависимости, различением однозначной и неоднозначной зависимостей, с построением полного описания функции на алгебраическом языке. для нас представляло определенную трудность описание ситуация затруднения в языке способа (действия).

На основании проведенного анализа данных об учебной задаче в подростковой школе под учебной задачей мы будем понимать: разрыв какого-либо способа действования, который может возникнуть в ситуации затруднения.

В третьей главе приводится методика введения понятия линейная функция через систему учебных задач.

Первый параграф посвящен обоснованию возможности введения понятия функция через систему учебных задач в программе А.Г. Мордковича. В ходе анализа логики и методики введения понятия функция в программе А.Г. Мордковича и С.Ф. Горбова мы выявили схожие места введения понятия функции.

Во втором параграфе настоящей главы описывается непосредственно методика введения понятия линейной функции, которое мы вводим с помощью пяти ситуаций затруднения: введение понятия функции как способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными, введение понятия линейной функции как зависимости между переменными, введение графика линейной функции, введение области определения, введение неоднозначных зависимостей. Первая ситуация затруднения сконструирована по принципу классической учебной задачи, описанной в начальной школе. Эта ситуация описана в дипломной работе наиболее подробно. Остальные ситуации затруднения сконструированы как разрывы между старым и новым способом или знанием, они представлены кратко. Существенным преобразованием в содержании А.Г. Мордковича стало то, что линейная функция вводится как зависимость между переменными. Трансформируя таким образом логику введения понятия линейная функция мы избегаем математических казусов, которые описаны в §2 главы 1, кроме того, у нас появляется возможность рассматривать неоднозначные зависимости.

В §3 третьей главы анализируются имеющиеся формы описания содержания УМК в системе РО, и вводится новая форма описания содержания, разработанная нами. Она представлена тремя таблицами. В таблице №1 приводятся этапы решения учебной задачи, содержание этапа и его результаты. В таблице №2 более подробно раскрываются методический и предметный аспекты содержания каждого этапа введения понятия, которые соотнесены с заданием. В этой же таблице описаны моменты, на которые нужно обратить внимание учителю при работе с материалом. В таблице №3 представлен задачный материал: базовые, контрольно-оценочные задания, которые разработаны нами соотнесены с заданиями из задачника А.Г. Мордковича и этапами разворачивания учебных задач.

С помощью выстроенной нами цепочки учебных задач можно проследить организацию конкретного урока, также можно говорить и том, что преодолевая систему затруднений учащиеся повышают свою самостоятельность. В четвертом параграфе приводится анализ результатов апробации методических материалов, которые были специально разработаны нами. Учащиеся, обучавшиеся по разработанной нами методике, намного увереннее выполняют задания диагностики. Они лучше умеют работать как с графической так и с аналитической формами задания зависимости.

В заключении представлены результаты проделанной работы и намечены возможные перспективы работы с материалом двух программ.

В списке литературы указанно 34 источника, которые использовались при написании дипломной работы.

В современных школьных программах по алгебре 7-9 классов можно выделить два подхода к формированию понятия функции: функция как модель реальной ситуации (программа А.Г. Мордковича), функция как однозначная зависимость между переменными (программа С.Ф. Горбова). Для понимания и обоснования каждого из подходов мы сделали логико-историческую реконструкцию понятия функции.

• Логико-историческая реконструкция понятия функции
• Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"
• Представление об учебной задаче в начальной и подростковых школах
• Цепочка учебных затруднений на формирование понятия функции в курсе алгебры С.Ф. Горбова
• О возможности применения системы учебных задач в программе А.Г. Мордковича
• Методика изучения темы "Линейная функция"
• Разработка формы учебных и методических материалов для учителя по теме "Линейная функция"

Другая информация:

Формирование грамматического строя в онтогенезе
Развитие грамматического строя в онтогенезе описано в работах многих авторов: А. Н. Гвоздева, Т. Н. Ушаковой, А. М. Шахноровича, Д. Б.Эльконина и др. Формирование грамматического строя речи осуществляется лишь на основе определенного уровня когнитивного развития ребенка. Так, при формировании слово ...

Методика воспитания двигательных качеств
Внедряемая методика содержала следующие упражнения и задания: Перечень упражнений из комплекса ОФП: Прыжковые упражнения с продвижением (с ноги на ногу, на одной ноге, на двух ногах одновременно). Выполняются «до отказа». Повторяется 1-2 раза с интервалами отдыха 3-5 мин. Упражнения на преодоление ...

Психологические особенности неуспевающих школьников
Для всех неуспевающих школьников характерна, прежде всего, слабая самоорганизация в процессе учения: отсутствие сформированных способов и приемов учебной работы, наличие устойчивого неправильного подхода к учению. Неуспевающие учащиеся не умеют учиться. Они не хотят или не могут осуществлять логиче ...