Понятие функции в школьной программе по математике

Использование системы учебных задач в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова при организации учебной деятельности уже показала свою эффективность. В подростковой школе только начинается обсуждение возможности использования деятельностного подхода в обучении. На данный момент разработаны только фрагменты учебно-методических комплектов, поэтому возникает идея использования имеющихся разработок, как инновационных элементов, в утвержденных Министерством образования и науки РФ программах.

Как отмечают разработчики современных программ по математике для общеобразовательных школ, базовым понятием курса алгебры 7-11 классов является понятие функции. Известно, что одно и тоже математическое понятие может быть введено исходя из разных методологических и методических оснований. Особо это относится к понятию "Функция". Нами выделено два подхода, в которых понятие разворачивается в определенной логике: первый представлен в экспериментальной программе С.Ф. Горбова, второй – в программе А.Г. Мордковича.

В подходе, предлагаемом авторами РО, понятие функции вводится исходя из исторического развития понятия функции, где она сформировалось как однозначная зависимость между переменными величинами. В этом подходе логика введения понятия от общего к частному. В программе С.Ф. Горбова нами были выделена система учебных задач на введение понятия функции. В программе А.Г. Мордковича, которая широко используется в настоящее время в школах, понятие функции вводится как модель практической ситуации. Под моделью практической ситуации понимается составление и решение уравнения. Этот подход построен на рассмотрении частных случаев функций, и их формальном обобщении.

Сравнивания подходы к введению понятия функции в программах А.Г. Мордковича и С.Ф. Горбова нами были обнаружены схожие места во введении отдельных аспектов понятия функции. Так возникла идея о возможности использования деятельностных элементов в программе А.Г. Мордковича, пользующаяся наибольшей популярностью среди учителей.

Цели работы:

Изучить подходы к введению понятия функция

Для достижения цели решались следующие задачи:

Провести историческую реконструкцию понятия функции;

Провести анализ программы А.Г. Мордковича и экспериментальных учебных материалов С.Ф. Горбова с целью реконструкции подходов к формированию понятия функции

Разработка методического обеспечения по теме "Линейная функция", позволяющего внести деятельностные элементы в изучение понятия функции.

Для достижения цели решались следующие задачи:

Выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса "Алгебра 7" С.Ф. Горбова, проводились беседы с автором

Изучить возможность деятельностного введения понятия линейная функция в программе А.Г. Мордковича;

Разработать методику введения понятия линейной функции;

Разработать формы описания учебных и методических материалов;

Разработать диагностические задания, позволяющие оценить эффективность используемой методики.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Первая глава посвящена изучению подходов к формированию понятия функции в двух инновационных программах по математике. Более точно, рассматриваются программа А.Г. Мордковича и экспериментальный курс С.Ф. Горбова.

Историческая реконструкция понятия функции, проведенная в §1, позволила выделить этапы его развития: 1) этап становления понятия функции как зависимости рядов величин, а затем переменных; 2) разделение однозначных и неоднозначных зависимостей; 3) введение области определения

Итак, к концу XIX века функция представляется как однозначная зависимость между переменными, с указанием области существования независимой переменной, причем зависимость может быть задана графически, аналитически, словесно или каким-либо другим способом. В школьной математике понятие функции основано на методической обработке основных интерпретаций понятия функции до середины XIX века.

Второй параграф посвящен анализу программы А.Г. Мордковича, в которой функция представлена учащимся как специальный вид линейного уравнения, который удобно использовать для описания математических моделей практических ситуаций. В ходе восстановления логики программы мы выделили два объекта для введения понятия линейной функции: линейное уравнение с двумя неизвестными и его график. Логика изложения представлена четырьмя блоками: раскрытие связи линейного уравнения и его графика; оформление связи линейной функции с ее геометрической моделью; введение области определения функции, рассмотрение нового способа построения прямой. Последние два блока не имеют логических связок с предыдущими.

В пункте 2.2. §2 мы обосновываем, что автор существенно редуцирует как понятие функции, так и отношения между линейной функцией, линейным уравнением и их графиками. При этом подобная редукция отрицательно сказывается на качестве формирования понятия линейной функции у школьников, а именно:

Учащиеся не опознают линейное уравнение и линейную функцию в неканонической форме задания;

У учащихся нет средств для ответа на вопрос, графиком какой линейной функции является данная прямая на координатной плоскости;

Равенство у=с не является для учащихся функцией.

Третий параграф главы 1 посвящен введению понятия функция в экспериментальном курсе С.Ф. Горбова, В.М Заславского и др. Понятие функции в данном курсе представлено отдельной содержатель-методической линией и вводится в соответствии с его историческим развитием. Это позволяет авторам работать с отношением между алгебраическим и геометрическим языками. В формировании функции по С.Ф. Горбову можно выделить 5 этапов: введение понятия зависимости, график как средство моделирования зависимости, однозначные и неоднозначные зависимости, область определения функции, введение функциональной символики.

В данном курсе авторы работают с понятием зависимости рассматривая и неоднозначные зависимости. В силу этого линейная функция представлена лишь как частный случай однозначной зависимости.

Во второй главе рассматриваются методические аспекты введения понятия функция через систему учебных задач. Основная задача этой главы - выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса "Алгебра 7" С.Ф. Горбова, проводились беседы с автором.

В первом параграфе приводится сравнение учебных задач в начальной и подростковой школах. Учебная задача является центральным понятием в РО. С.Ф. Горбов называет ее "плодотворной метафорой", поскольку она дает возможность изучать учебную деятельность с разных сторон. Так психологи через призму учебной задачи рассматривают формирование психологических процессов. Методисты изучают ее как способ организовать методику введения материала. Для учителя учебная задача – форма для организации ситуации урока. Суть учебной задачи заключается в разрыве между необходимостью и возможностью выполнить действие, при этом имеющийся у учащихся способ этого не позволяет. Необходимость выполнения предметного действия обусловлена рамками задания. Возможность преодолеть затруднение заключается в том, что имеющийся способ применяется не на прямую, а посредствам его преобразования в новой ситуаций. Учебная задача позволяет контролировать формирование понятие у учащихся. Учебная задача в подростковой школе направлена на преобразование имеющегося способа к новой ситуации, а не на поиск общего способа решения, как было в начальной школе. Учащиеся выполняют действия с моделями в рамках знаковых систем, а не моделируют отношение между объектами. По этим причинам мы предполагаем, что для описания структуры учебной задачи в подростковой школе можно использовать описание, предложенное Г. А. Цукерман [31].

Второй параграф посвящен анализу учебных задач на формирование понятия функции, предлагаемых в курсе С.Ф. Горбова. В подростковой школе, в отличие от младшей, не удается выделить всеобщего способа, который позволил бы организовать формирование понятия функции. Первоначально мы предполагали, что в курсе С.Ф. Горбова удастся выделить систему учебных задач, но нам удалось обнаружить только цепочку учебных задач, каждая из которых основана на конструировании ситуации затруднения. Ситуации затруднения, в свою очередь, организуются по следующему принципу: открытие способа посредствам адаптации имеющегося способа (возможно из другой содержательной линии) в новых условиях. На месте способа может находиться знание. Нами было выделено четыре ситуации затруднения в курсе С.Ф. Горбова "Алгебра 7", которые связаны с: различением двух видов неизвестных, выходом на графический способ представления зависимости, различением однозначной и неоднозначной зависимостей, с построением полного описания функции на алгебраическом языке. для нас представляло определенную трудность описание ситуация затруднения в языке способа (действия).

На основании проведенного анализа данных об учебной задаче в подростковой школе под учебной задачей мы будем понимать: разрыв какого-либо способа действования, который может возникнуть в ситуации затруднения.

В третьей главе приводится методика введения понятия линейная функция через систему учебных задач.

Первый параграф посвящен обоснованию возможности введения понятия функция через систему учебных задач в программе А.Г. Мордковича. В ходе анализа логики и методики введения понятия функция в программе А.Г. Мордковича и С.Ф. Горбова мы выявили схожие места введения понятия функции.

Во втором параграфе настоящей главы описывается непосредственно методика введения понятия линейной функции, которое мы вводим с помощью пяти ситуаций затруднения: введение понятия функции как способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными, введение понятия линейной функции как зависимости между переменными, введение графика линейной функции, введение области определения, введение неоднозначных зависимостей. Первая ситуация затруднения сконструирована по принципу классической учебной задачи, описанной в начальной школе. Эта ситуация описана в дипломной работе наиболее подробно. Остальные ситуации затруднения сконструированы как разрывы между старым и новым способом или знанием, они представлены кратко. Существенным преобразованием в содержании А.Г. Мордковича стало то, что линейная функция вводится как зависимость между переменными. Трансформируя таким образом логику введения понятия линейная функция мы избегаем математических казусов, которые описаны в §2 главы 1, кроме того, у нас появляется возможность рассматривать неоднозначные зависимости.

В §3 третьей главы анализируются имеющиеся формы описания содержания УМК в системе РО, и вводится новая форма описания содержания, разработанная нами. Она представлена тремя таблицами. В таблице №1 приводятся этапы решения учебной задачи, содержание этапа и его результаты. В таблице №2 более подробно раскрываются методический и предметный аспекты содержания каждого этапа введения понятия, которые соотнесены с заданием. В этой же таблице описаны моменты, на которые нужно обратить внимание учителю при работе с материалом. В таблице №3 представлен задачный материал: базовые, контрольно-оценочные задания, которые разработаны нами соотнесены с заданиями из задачника А.Г. Мордковича и этапами разворачивания учебных задач.

С помощью выстроенной нами цепочки учебных задач можно проследить организацию конкретного урока, также можно говорить и том, что преодолевая систему затруднений учащиеся повышают свою самостоятельность. В четвертом параграфе приводится анализ результатов апробации методических материалов, которые были специально разработаны нами. Учащиеся, обучавшиеся по разработанной нами методике, намного увереннее выполняют задания диагностики. Они лучше умеют работать как с графической так и с аналитической формами задания зависимости.

В заключении представлены результаты проделанной работы и намечены возможные перспективы работы с материалом двух программ.

В списке литературы указанно 34 источника, которые использовались при написании дипломной работы.

В современных школьных программах по алгебре 7-9 классов можно выделить два подхода к формированию понятия функции: функция как модель реальной ситуации (программа А.Г. Мордковича), функция как однозначная зависимость между переменными (программа С.Ф. Горбова). Для понимания и обоснования каждого из подходов мы сделали логико-историческую реконструкцию понятия функции.

• Логико-историческая реконструкция понятия функции
• Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"
• Представление об учебной задаче в начальной и подростковых школах
• Цепочка учебных затруднений на формирование понятия функции в курсе алгебры С.Ф. Горбова
• О возможности применения системы учебных задач в программе А.Г. Мордковича
• Методика изучения темы "Линейная функция"
• Разработка формы учебных и методических материалов для учителя по теме "Линейная функция"

Другая информация:

Дидактические основы межпредметных связей в предметном обучении
Исходные позиции в построении учебного предмета были выявлены в 40 – е годы. М.Н. Скаткин увидел роль межпредметных связей в обеспечении концентризма и системы знаний. Концентризм предполагает «более глубокое и всестороннее освещение фактов, опирающееся на знания, приобретаемые учащимися по данному ...

Теоретические основы непрерывного образования
Существует несколько определений непрерывного образования. Приведем пример некоторых из них. Под непрерывным образованием понимается систематическая, целенаправленная деятельность по получению и совершенствованию знаний, умений и навыков как в любых видах общих и специальных учебных заведений, так ...

Роль учителя в организации межпредметных связей
Обучение - двусторонний процесс. Даже искусственно ограничив его лишь информационной стороной, можно показать, что деятельность учителя и ученика неодинаковы. Учитель преподает учащимся знания, выявляет логические связи между отдельными частями содержания, показывает возможности использования этих ...