Изучение многогранников в школьном курсе математики

На уроке, используя модели многогранников (куб, параллелепипед, тетраэдр, призма), необходимо назвать учащимся их элементы: вершины, грани, ребра, диагонали граней и диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировки задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. После этого вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников; обязательно учащимся показать примеры невыпуклых многогранников.

Призма А1 А2… Аn В1 В2 …Вn определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1 А2… Аn и В1 В2 …Вn , расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А1 А2 В2 В1, …, Аn А1 В1 Вn. Далее вводятся определения элементов призмы, с помощью моделей разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма – это знакомый им параллелепипед. У произвольного параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы, а боковые грани – прямоугольники, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.

Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А1 А2 … Аn и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S∆ - площадь боковой грани. Тогда

Sбок=n∙ S∆, Sбок=n∙ad, Sбок=(n∙a)∙d, Sбок= Pd, где P – периметр основания пирамиды.

Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.

При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике, это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника – равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.

Другая информация:

Виды, формы и методы внутришкольного контроля
Проблема классификации видов, форм и методов внутришкольного контроля в настоящее время остается дискуссионной, что является подтверждением актуальности данной проблемы в теории и практике и продолжающимся поиском ее оптимального решения. В книге М.Л.Портнова «Труд руководителя школы» выделяются тр ...

Инновационные технологии в профессиональном образовании
В условиях образовательных реформ особое значение в профессиональном образовании приобрела инновационная деятельность, направленная на введение различных педагогических новшеств. Они охватили все стороны дидактического процесса: формы его организации, содержание и технологии обучения, учебно-познав ...

Педагогические взгляды представителей реформации: Лютер
В первое время немецкий гуманизм и реформация шли рука об руку. Обоих объединяло отвращение к церковной схоластике и стремление к освобождению личности от средневековых традиций и подавляющего церковного авторитета. Оба искали нового, более свежего образования. Но скоро теологические интересы, возб ...