Материалы » Понятие функции в школьной программе по математике » Логико-историческая реконструкция понятия функции

Логико-историческая реконструкция понятия функции

Страница 1

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий в математике является понятие функции. Начало понятию функции было положено в Древней Греции при обнаружении отношений между величинами, развитие этой линии привело к тому, что под функцией стали понимать зависимость между переменными. В XVI - XVII в.в. ученые создали геометрическую интерпретацию уравнений и зависимостей в декартовой системе координат, что позволило выделить такую характеристику функциональной зависимости как однозначность. В средние века преимущественно в Индии развивается аппарат работы с уравнениями, что в последствии окажет существенное влияние на аналитическую запись функции. Эти исторические моменты подготовили базу для того, чтобы ученым XVIII – XIX в. удалось сформулировать определение понятия функции, выделить его составляющие.

К настоящему времени в содержание понятия функции включены три аспекта:

1. Функция-формула, посредством которой зависимость между переменными задается в виде формулы y=f(x), здесь важным является то, что зависимость о которой идет речь, однозначна, так как значению переменной х ставится в соответствие единственное значение у. Это явно видно в геометрической интерпретации зависимости в виде графика в системе координат.

2. Функция-отношение. Такой подход используется в алгебре, где функция, например, определяется как подмножество декартова произведения Х1Х2Хп, т.е. множество упорядоченных п-ок чисел (х1, х2,…,хп).

3. Функция-отображение. Такой подход к пониманию зависимости появился тогда, когда математики стали рассматривать зависимость между множествами элементов. Например, функцией на множестве А со значениями в множестве В называется правило, по которому каждому элементу из А сопоставляется элемент из В. Ныне такое понимание функции используется, например, в теории множеств.

Рассмотрим логику возникновения понятия функции. Отметим, что поскольку ученые ставили себе задачу найти закон, описывающий тот или иной процесс, то это способствовало развитию алгебраического аппарата, который помогал фиксировать отношения между величинами. Первые зависимости записывали в неявном виде, как уравнения. Например, алгебраисты Индии, начиная с VII в. умели уже решать задачи, которые, говоря современным языком, сводились к системам линейных уравнений с двумя переменными. Вершина достижения индийской математики в теории чисел – описание решения в целых, положительных числах неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными ax2 +b=y2 , где a –целое число, не являющееся квадратом. С помощью такого подхода к пониманию зависимости развивался аппарат для записи математических формул. Поскольку первым способом зафиксировать отношения были уравнения, то и первые зависимости также представляли собой равенства – уравнения. Позднее в XVIII веке начал оформляться современный функциональный аппарат.

Отметим, что нам удалось выделить три этапа становления понятия функции. На первом этапе понятие функции формировалось в качестве зависимости между величинами. Второй этап развития понятия функции связан с оформлением представления о функции как однозначной зависимости между двумя видами переменных. В качестве последнего этапа можно обозначить появление в определении функции области определения и область значения переменных. Мы опишем этот этап в рамках развития определений понятия функции. Нам удалось выделить три подэтапа формирования понятия функции как зависимости между двумя переменными, которое образовалось в процессе трансформации представлений об отношении между переменными величинами. На первом подэтапе учеными рассматривались отношения между постоянными величинами, на втором – появились задачи, в которых требовалось описать закономерности между переменными величинами, на третьем - появились идеи о предельном переходе, связанные с рассмотрением отношения между бесконечно малыми величинами.

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Другая информация:

Учреждения общего образования
Тип “общеобразовательное учреждение” подразделяется на виды: начальная общеобразовательная школа; основная общеобразовательная школа; средняя (полная) общеобразовательная школа, в том числе с углубленным изучением отдельных предметов; лицей; гимназия; вечерняя (сменная) общеобразовательная школа; ц ...

Особенности развития пространственного мышления в младшем школьном возрасте
Пространственные понятие и пространственное воображение ребенка являются предпосылками для формирования его пространственного мышления и обеспечиваются различными психическими процессами, такими как восприятие (первоосновой которого являются ощущения), внимание, память, воображение при обязательном ...

Пути устранения школьной неуспеваемости
Современная дидактика в качестве основных путей преодоления неуспеваемости предлагает следующие: 1. Педагогическая профилактика - поиски оптимальных педагогических систем, в том числе применение активных методов и форм обучения, новых педагогических технологий, проблемного и программированного обуч ...

Разделы

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.grandeducator.ru