Логико-историческая реконструкция понятия функции

В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. работах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения, и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

В своем "Курсе алгебраического анализа" (1821 г.) французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на определенном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом, который стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе "Об исчезновении тригонометрических строк" Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: "Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной . Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе". Щетников А.И. отмечает, что Лобачевский еще вовсе "не настаивал на обязательном понимании функции как однозначного соответствия" .

В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: "у есть функция переменной х (на отрезке a≤х≤b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами". Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая "функция Дирихле"

Функция Дирихле является примером функции, которую аналитически можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств . Тем самым, примерно в середине XIX в., появляется ответ на вопрос об однозначности соответствия аналитического выражения и зависимости, заданной геометрически: не каждую кривую можно описать одним выражением.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств понятие функции вобрало в себя элементы теоретико-множественного подхода. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: "Если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция f(х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у – образы" .

Уже с самого начала XX в. описанное выше определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков–алгебраистов. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию, как отношение, отображение. Поэтому понятие функции продолжает оформляться до сих пор. За рамками нашего исследования осталось рассмотрение понятия функция в ТФКП, топологии и других отраслях высшей математики, поскольку эти подходы не находят отражения в школьной математике.

Другая информация:

Общие закономерности ландшафтной оболочки, классификация и таксономия ландшафтов
География (от греч. geo - Земля), система естественных (физико-географических) и общественных (экономико-социальных) географических наук, изучающих географическую оболочку Земли, природные, производственно-территориальные и социально-территориальные комплексы и их компоненты. География - наука о за ...

Содержание логопедической работы
Логопедическая работа по формированию лексики у дошкольников с билингвизмом построена с учетом выделенных по результатам констатирующего эксперимента типологических групп детей. Так, дети, вошедшие в первую подгруппу, нуждаются в коррекционной работе по формированию лексики, а дети, вошедшие во вто ...

Народная игрушка. История и современность
Народная игрушка, как и игрушка вообще, является традиционным, необходимым элементом воспитательного процесса. Через игру и игрушку ребенок познает мир, происходит его социализация в обществе. Мир народной игрушки разнообразен, удивителен и во многом неповторим. Путешествую по нему, мы можем переме ...