Материалы » Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии » Подходы к определению многогранника

Подходы к определению многогранника

Страница 1

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок. Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше - для применения.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

1) многогранник как поверхность;

2) многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В.М. Клопского, З.А. Скопеца, М.И. Ягодовского «Геометрия 9-10», но было очень сложно, так как определение вводилось в несколько шагов, было много вспомогательных понятий.

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник

как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе). При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности – это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник

– это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А.В.: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л.С.: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело».

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности её размеров, или, как принято говорить в математике, ограниченная. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть – бесконечную; во всяком случае, они тоже образуют его границу.)

Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержаться в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника – это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности. (Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет его от остального пространства – внешнего по отношению к многограннику. Поэтому, например, куб с «крылом», т.е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства (рис 1.1).

Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т. е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани – образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т. п. (рис.1.2)

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая – нет.

Дадим строгое определение многогранника, предложенное А.Д. Александровым.

Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости.

Фигура – это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек – внутренностью.

Страницы: 1 2 3

Другая информация:

Практическое применение методов активизации самостоятельной работы учащихся на уроках иностранного языка
Использование современных методов обучения является основой при организации самостоятельной работы учащихся на уроке. Одним из таких методов можно считать проблемный метод обучения. Он получил своё распространение в 20-30-х гг. 20в. в советской и зарубежной школе. Он основывается на теоретических п ...

Сущность семьи и брака
Семья малая - социально-психологическая группа, члены которой связаны брачными и родственными отношениями, взаимной моральной ответственностью и социальная необходимость в которой обусловлено потребностью общества в физическом и духовном воспроизводстве населения. Для одних семья – оплот, надежный ...

Характеристика среднего школьного возраста
Средний школьный возраст (от 10-11 до 15 лет) – переходный от детства к юности. Он совпадает с обучением в школе второй ступени (V – IX кл.) и характеризуется общим подъёмом жизнедеятельности и глубокой перестройкой всего организма. Душевный мир подростка характеризуется психологией полуребёнка – п ...

Разделы

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.grandeducator.ru