Материалы » Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии » Подходы к определению многогранника

Подходы к определению многогранника

Страница 1

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок. Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше - для применения.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

1) многогранник как поверхность;

2) многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В.М. Клопского, З.А. Скопеца, М.И. Ягодовского «Геометрия 9-10», но было очень сложно, так как определение вводилось в несколько шагов, было много вспомогательных понятий.

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник

как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе). При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности – это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник

– это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А.В.: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л.С.: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело».

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности её размеров, или, как принято говорить в математике, ограниченная. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть – бесконечную; во всяком случае, они тоже образуют его границу.)

Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержаться в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника – это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности. (Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет его от остального пространства – внешнего по отношению к многограннику. Поэтому, например, куб с «крылом», т.е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства (рис 1.1).

Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т. е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани – образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т. п. (рис.1.2)

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая – нет.

Дадим строгое определение многогранника, предложенное А.Д. Александровым.

Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости.

Фигура – это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек – внутренностью.

Страницы: 1 2 3

Другая информация:

Особенности распознавания общих категориальных значений
Эта группа заданий представлена в виде 2 процедур. Задание №1. Из заданий, вошедших в эту группу, более сложными для детей экспериментальной группы оказалось называние следующих общих категориальных значений: «времена года» - только 4 из 15 назвали правильно, среди них 2 ребенка с доминирующим русс ...

Разработка структурных принципов представления образовательной информации в распределенной образовательной системе
Развитие информационных технологий требует совершенствования средств и способов представления образовательной информации. Особенно это относится к представлению информации в электронном виде. Деятельность любого вуза связана с потоками образовательной информации – от профессора к студенту, от учебн ...

Осуществление проекта опытно-экспериментальной работы
Для осуществления опытно-экспериментальной (по психологии - экспериментальной) работы проведите предварительную диагностику уровня сформированности исследуемого явления. Для того чтобы результаты позволяли выявить некоторую закономерность необходимо обследовать более 300 человек. Полученные результ ...

Разделы

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.grandeducator.ru