Различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в средней школе

Задача. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно четыре корня?

Строим графики функций и в одной системе координат, воспринимая равенство как равенство значений выбранных функций.

Построим график четыре точки пересечения получаем для . При (координаты точки максимума (1,2)) получаем верхнее ограничение. Второй промежуток значений для : от точки минимума функции, т.е. . Основа решения – использование функциональных и графических представлений, а само решение – переход от исследования данного в уравнении к исследованию функции. При построении графика этой функции с помощью элементарных преобразований графиков наиболее трудным является оценивание значения выражения . В качестве подсказки можно воспользоваться неравенством:

Показанный метод называется функционально-графическим моделированием. Освоение его и с формальной, и с прикладной стороны в значительной мере подчинено изучение всей функциональной линии курсов алгебры и начала анализа.

Различают две основные математические трактовки понятия функции:

1) генетическую;

2) логическую.

Основные понятия, используемые при генетической трактовке: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости. Достоинство такого подхода состоит в том, подчеркивая динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Например, общая схема применения функции для описания результатов опыта имеет вид:

1)провести эксперимент;

2)составить по результатам эксперимента таблицу значений связанных друг с другом величин;

3)построить по табличным данным график;

4)подобрать эмпирическим путём формулу для данной функции;

5)дать развёрнутую характеристику свойств функции;

6)истолковать установленные свойства функции на языке эксперимента.

Однако ограничительная черта в этом подходе в том, что переменная всегда неявно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается с числовыми функциями числовог8о аргумента.

Логическая трактовка: обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала(теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия.

Другая информация:

Характеристика показателей нормального психического развития ребенка раннего возраста
Существуют определенные поведенческие ориентиры, позволяющие заподозрить нарушение темпа психического развития ребенка. Знание этих ориентиров полезно и необходимо тем, кто несет ответственность за воспитание ребенка. Итак: К 1 году – ребенок использует 7-14 слов, сосредоточенно занимается одним де ...

Психологическая и лингвистическая характеристика диалогической речи
Диалог - генетически исходная и наиболее развитая форма непосредственного общения («Я и собеседник»). Специфика этого взаимодействия в коммуникативном плане заключается в том, что в его основе лежит диалогическое единство: выражение мыслей и их восприятие, реакция на них, что находит отражение в ст ...

Основные принципы коррекционно-предупредительного воздействия в раннем возрасте
Комплексное коррекционно-предупредительное воздействие в раннем возрасте имеет принципиальную основу: - Первым по значимости является принцип опережающего обучения в развитии, обоснованный JI.C. Выготским и детально разработанный в дальнейшем С.Я. Рубинштейном, А.Н. Леонтьевым, Р.Е. Левиной и др. П ...