Различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в средней школе

Задача. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно четыре корня?

Строим графики функций и в одной системе координат, воспринимая равенство как равенство значений выбранных функций.

Построим график четыре точки пересечения получаем для . При (координаты точки максимума (1,2)) получаем верхнее ограничение. Второй промежуток значений для : от точки минимума функции, т.е. . Основа решения – использование функциональных и графических представлений, а само решение – переход от исследования данного в уравнении к исследованию функции. При построении графика этой функции с помощью элементарных преобразований графиков наиболее трудным является оценивание значения выражения . В качестве подсказки можно воспользоваться неравенством:

Показанный метод называется функционально-графическим моделированием. Освоение его и с формальной, и с прикладной стороны в значительной мере подчинено изучение всей функциональной линии курсов алгебры и начала анализа.

Различают две основные математические трактовки понятия функции:

1) генетическую;

2) логическую.

Основные понятия, используемые при генетической трактовке: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости. Достоинство такого подхода состоит в том, подчеркивая динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Например, общая схема применения функции для описания результатов опыта имеет вид:

1)провести эксперимент;

2)составить по результатам эксперимента таблицу значений связанных друг с другом величин;

3)построить по табличным данным график;

4)подобрать эмпирическим путём формулу для данной функции;

5)дать развёрнутую характеристику свойств функции;

6)истолковать установленные свойства функции на языке эксперимента.

Однако ограничительная черта в этом подходе в том, что переменная всегда неявно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается с числовыми функциями числовог8о аргумента.

Логическая трактовка: обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала(теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия.

Другая информация:

Принципы и механизмы Триз
Существуют принципы на которых основывается данная технология, они отражают сильные ее стороны и помогают избежать ошибок при ее реализации. 1. Принцип преодоления психологической инерции. Этот принцип предполагает применение средств управления психологическими факторами. Способы преодоления психол ...

Упражнение как способ развития лексических навыков
Лексический механизм речи функционирует благодаря взаимодействию операций, осуществляемых с лексическими единицами в процессе ведения беседы, говорения, аудирования, чтения и письма. Эти операции различны в репродуктивных и рецептивных видах речевой деятельности, соответственно различаются между со ...

Организация личностно-ориентированного урока
При подготовке и проведении ЛО урока учитель должен выделить основополагающие направления своей деятельности, выдвигая на первый план ученика, затем деятельность, определяя собственную позицию. Направление деятельности учителя Пути и средства его реализации I.Обращение к субъектному опыту школьнико ...